電荷\(q\)、速度\(\boldsymbol v\)の粒子が、電場\(\boldsymbol E\)、磁場\(\boldsymbol B\)の下で受ける力は \[\boldsymbol F=q(\boldsymbol E+\boldsymbol v\times\boldsymbol B)\tag{1}\] この粒子の運動量がどのように変化するかを考える。この粒子が従う運動方程式は、質量を\(m\)とすると、
\[\boldsymbol F=m\frac{\mathrm d\boldsymbol v}{\mathrm dt}\] 磁場と電場はそれぞれ、ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol A(\boldsymbol r ,\boldsymbol v )\) 、Coulombポテンシャル\(\boldsymbol V(\boldsymbol r ,\boldsymbol v )\)を用いて、 \[\boldsymbol B=\nabla\times\boldsymbol A\] \[\boldsymbol E=-\nabla V-\frac{\partial\boldsymbol A}{\partial t}\] したがって、 \[m\frac{\mathrm d\boldsymbol v}{\mathrm dt}=-q\nabla V-q\frac{\partial\boldsymbol A}{\partial t}+q\boldsymbol v\times(\nabla\times\boldsymbol A)\tag{2}\] 公式より、 \[\boldsymbol v\times(\nabla\times\boldsymbol A)=\nabla(\boldsymbol v\cdot\boldsymbol A)-(\boldsymbol v\cdot\nabla)\boldsymbol A\tag{3}\] これを使うと、(2)と(3)より \[m\frac{\mathrm d\boldsymbol v}{\mathrm dt}=-q\nabla V-q\frac{\partial\boldsymbol A}{\partial t}+q\nabla(\boldsymbol v\cdot\boldsymbol A)-q(\boldsymbol v\cdot\nabla)\boldsymbol A\] \[m\frac{\mathrm d\boldsymbol v}{\mathrm dt}+q(\frac{\partial\boldsymbol A}{\partial t}+(\boldsymbol v\cdot\nabla)\boldsymbol A)=-q\nabla(V-\boldsymbol v\cdot\boldsymbol A) \tag{4}\] ここで、 \(m\frac{\mathrm d\boldsymbol v}{\mathrm dt}\) は、粒子とともに動く座標系で動く座標系で測った粒子に働く力を表し、 \(\frac{\partial\boldsymbol A}{\partial t}\)は空間に固定した座標系で測った\(\boldsymbol A\)の時間変化率を表す。 動いている粒子の位置での\(\boldsymbol A\)の変化率は \[\frac{\text{d}\boldsymbol A}{\text{d}t}=\frac{\partial\boldsymbol A}{\partial t}+(\boldsymbol v\cdot\nabla)\boldsymbol A)\] なので、(4)は、粒子とともに動く座標系で動く座標系で測った粒子に働く力を表し、 \[\frac{\text{d}}{\text{d}t}(m\boldsymbol v+q\boldsymbol A)=-q\nabla(V-\boldsymbol v\cdot\boldsymbol A)\] （これを"convective derivative"、「流れに乗って移動するときの微分」または「物質微分」と呼ぶ） なので、(4)は \[\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(m\boldsymbol v+q\boldsymbol A)=-q\nabla(\boldsymbol V-\boldsymbol v\cdot\boldsymbol A)\tag{5}\] この式は正準運動量(Canonical momentum)、\(\boldsymbol p=(m\boldsymbol v+q\boldsymbol A)\)の時間変化率が"有効ポテンシャルエネルギー" \(q\nabla(\boldsymbol V-\boldsymbol v\cdot\boldsymbol A)\) の勾配に等しいと読める。（Newtonの第2法則に相当）
運動エネルギーは\(E=\frac12m\boldsymbol v^2=\frac{(\boldsymbol p-q\boldsymbol A)^2}{2m}\)と書け、量子論では \(\boldsymbol p=-\mathrm i\hbar\nabla\) の置き換えにより \[\boldsymbol E=\frac{\displaystyle(-i\hbar\nabla-q\boldsymbol A)^2}{2m}\]