原子中の電子による全スピン角運動量\(\boldsymbol S\)による磁場\(\boldsymbol B\)中でのエネルギーは \[E=g\mu_\mathrm B\boldsymbol B\cdot\boldsymbol S\] 原子中の電子の全軌道角運動量\(\boldsymbol L\)は \[\hbar\boldsymbol L=\sum_{i=1}^Z{\boldsymbol r}_\mathbf i\times{\boldsymbol p}_i\] ハミルトニアンは \[ \begin{eqnarray*} \hat{\mathcal H} &=& \sum_{i=1}^Z\left(\frac{(\boldsymbol{p}_i+e\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}_i))^2}{2m_e}+V_i\right)+g\mu_\mathrm{B}\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{S}\\ &=& \sum_{i=1}^Z\left(\frac{\boldsymbol{p}_i^2}{2m_e}+ \frac{e \boldsymbol{p}_i \cdot \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r} _i)} {m_e}+\frac{e^2\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}_i)^2}{2m_e}+V_i\right)+g\mu_\mathrm{B}\boldsymbol{B}\cdot \boldsymbol{S} \tag{1}\end{eqnarray*} \] （注：\(\boldsymbol B=\boldsymbol A \times \boldsymbol r\)）
クーロンゲージ\(\boldsymbol A(\boldsymbol r)=\frac{\boldsymbol B \times \boldsymbol r}{2}\) を使うと、 \[ \begin{eqnarray*} (1)右辺第2項 &=& \sum_{i=1}^Z\left(\frac{e\boldsymbol{p}_i\cdot (\boldsymbol{B}\times \boldsymbol{r}_i)}{2m_e}\right)\\ &=& \sum_{i=1}^Z\left(\frac{e\boldsymbol{B}\cdot (\boldsymbol{r}_i\times \boldsymbol{p}_i)}{2m_e}\right)\\ &=& \frac{e\hbar}{2m_e}\boldsymbol{B}\cdot \boldsymbol{L}\\ &=& \mu_\mathrm{B}\boldsymbol{B}\cdot \boldsymbol{L} \end{eqnarray*} \] （注：\(\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=\mathbf{B}\cdot(\mathbf{C}\times\mathbf{A})=\mathbf{C}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\)）
よって、(1)は、 \[ \hat{\mathcal H} = \sum_{i=1}^Z\left(\frac{\boldsymbol{p}_i^2}{2m_e}+V_i\right)+\mu_\mathrm{B}\boldsymbol{B}\cdot (g\boldsymbol{S}+\boldsymbol{L})+\sum_{i=1}^Z\frac{e^2}{8m_e}(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{r}_i)^2 \] 右辺第2項は常磁性項、第3項は反磁性項を表す。